Διαγράμματα Voronoi και θεωρία παιγνίων

Όταν εξετάζουμε τα Διαγράμματα Voronoi ή ακόμα και την τριγωνοποίηση του Delaunay δεν είναι άμεσος ο συσχετισμός με τη θεωρία παιγνίων. Τα Διαγράμματα Voronoi, όπως το αποδείξαμε σε προηγούμενες μελέτες εμπεριέχουν εξ αρχής μια δυναμικότητα, λόγω της υπολογιστικής γεωμετρίας και της τοπολογίας, η οποία επιτρέπει, όχι μόνο την τριγωνοποίηση του Delaunay, αλλά μία ολόκληρη διαδικασία τοποστρατηγικής. Η ενσωμάτωση αυτού του πλαισίου στο πεδίο της θεωρίας παιγνίων γίνεται με ένα φυσιολογικό τρόπο.

Θεωρούμε μία κενή περιοχή κι όχι απαραίτητα το επίπεδο. Πάνω σε αυτήν την περιοχή δύο παίκτες παίζουν εναλλάξ, τοποθετώντας σημεία. Μετά από κάθε κίνηση, υπολογίζεται το Διάγραμμα Voronoi του νέου συνόλου. Αν η περιοχή είναι πεπερασμένη, τότε έχει νόημα μετά από μερικούς γύρους να αναρωτηθούμε ποιος από τους παίκτες έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν, αν προσθέσουμε τις κυψέλες Voronoi που ελέγχει. Κατά συνέπεια, αντιλαμβανόμαστε ότι υπάρχει ένα πρόβλημα τακτικής μετά από κάθε κίνηση των παικτών, αλλά κι ένα γενικό πρόβλημα στρατηγικής. Σε αυτήν την συγκεκριμένη κατάσταση είναι δυνατόν ν’ αποδείξουμε ότι, εκτός από την περίπτωση όπου υπάρχει μόνο ένας γύρος, ο δεύτερος παίκτης κερδίζει πάντα, ακόμα κι αν η διαφορά του συνολικού εμβαδού των δύο παικτών μπορεί να γίνει όσο μικρότερο γίνεται, αλλά ποτέ να μηδενιστεί. Αυτά τα στοιχεία: πλαίσιο, πεδίο και πεδίο δράσης μέσω της θεωρίας παιγνίων, μπορούν να εφαρμοστούν και σε πραγματικές περιπτώσεις για να ενταχθούν στην τοποστρατηγική.

Ένα σημαντικό παράδειγμα είναι το Αιγαίο. Η πολυπλοκότητα της ιδιόμορφης δομής μπορεί να εξετασθεί με αυτόν τον τρόπο και να προσφέρει νοητικά σχήματα, τα οποία δεν είναι άμεσα και εμφανίζονται μόνο σε πολεμολογικό πλαίσιο. Σε κάθε περίπτωση, η στατική προσέγγιση του Αιγαίου δεν επαρκεί, για να μας προετοιμάσει και να διαχειριστούμε στρατηγικά μελλοντικές κρίσεις . Ένα επιπλέον πρόβλημα σε σχέση με το Αιγαίο, είναι ότι η δομή είναι δοσμένη, όσον αφορά στη γεωγραφία. Κατά συνέπεια, δεν υπάρχει άμεση εφαρμογή του θεωρήματος, αλλά το σημαντικότερο είναι ότι υπάρχουν θέσεις κλειδιά ακόμα και στο αρχικό πλαίσιο. Αυτό σημαίνει ότι στην περίπτωση του Αιγαίου έχουμε διάφορες κατηγορίες νησιών που εμπλέκονται, για να δημιουργηθεί ένα πλέγμα. Η ανθεκτικότητα αυτού του πλέγματος είναι η ουσία της υπόθεσης. Και τα διαγράμματα Voronoi μέσω της θεωρίας παιγνίων αναδεικνύουν στρατηγικές συμπεριφορές, τις οποίες πρέπει να εξετάσουμε λεπτομερειακά και αποτελεσματικά.

Voronoi diagrams and Game Theory
Translated from the French by Paola Vagioni

When we examine the Voronoi diagrams or even the Delaunay triangulation, the correlation to Game Theory is not direct. The Voronoi diagrams, as we have proved it in previous studies, include from the start a dynamic due to computational geometry and topology, which allows not only the Delaunay triangulation but an entire topostrategic process. The incorporation of this framework in the field of Game Theory is carried out in a natural way. Consider an empty territory and not necessarily the plane. On this territory two players play alternatively by positioning points. After each movement, the Voronoi diagram of the new sum is calculated. If the territory is finite, then it is meaningful after a few rounds to ask ourselves, which of the players has the greater area by adding the Voronoi cells that he controls. Consecutively, we understand that a problem of tactic exists after each player’s movement and also a general problem of strategy. In this particular situation it is feasible to prove that, except from the case where there is only one round, the second player always wins even if the difference of the total areas of the two players can become the smallest possible but never zero. These elements: framework, field and field of action via Game Theory, can be applied also in real situations and be integrated in topostrategy. A significant example is the Aegean Sea. The complexity of this peculiar structure can be examined in this way and offer mental schemata, which are not direct and appear only in a polemological framework. In any case, the static approach of the Aegean Sea is not sufficient for preparing us and for managing strategically future crises. A further problem in relation to the Aegean Sea is that the structure is given as far as the geography is concerned. In consequence, there is no direct application of the theorem but the most important is that there are key positions even on the initial framework. This means that in the case of the Aegean Sea we have several island categories that are involved for creating a grid. The robustness of this grid is the whole essence of the case. And the Voronoi diagrams via Game Theory promote strategic behaviors, which must be examined in detail and effectively.

Πηγή -- Νίκος Λυγερός