Aπό τα διαγράμματα Voronoi στην τριγωνοποίηση του Delaunay (AOZ)

Νίκος Λυγερός ΑΟΖ και στρατηγική - Aπό τα διαγράμματα Voronoi στην τριγωνοποίηση του Delaunay
Τα διαγράμματα Voronoi δεν λύνουν μόνο προβλήματα γεωγραφίας και τοπολογίας. Όταν τα επινόησε ο Georgy Voronoy (1868 – 1908), ο οποίος ήταν μαθητής του Andrey Markov (1856 – 1922) αλλά και δάσκαλος των Delaunay (1890 -1980) και Sierpiński (1882 – 1969), δημιούργησε έναν ολόκληρο μαθηματικό πλαίσιο μέσω της υπολογιστικής γεωμετρίας.

Η ιδέα των διαγραμμάτων Voronoi είναι η δημιουργία νέων σημείων που διαφέρουν από τα αρχικά δεδομένα και δεν παρουσιάζονται με απλό τρόπο στον λύτη. Δημιουργούν μία νέα δομή, η οποία είναι αόρατη για τον μη ειδικό που εξετάζει τα αρχικά στοιχεία. Αυτή η έννοια είναι σημαντικότατη στα μαθηματικά κι όχι μόνο. Στο γνωστικό επίπεδο, απελευθερώνει την σκέψη και την βάζει να λειτουργεί μη συμβατικά, για να λύσει ένα πρόβλημα φαινομενικά στατικό. Η συμβολή των διαγραμμάτων Voronoi είναι η εισαγωγή ενός δυναμικού πλαισίου, το οποίο διευκολύνει, όχι μόνο την επίλυση αλλά και την επινόηση νέας στρατηγικής. Επιπλέον τα διαγράμματα Voronoi συσχετίζονται άμεσα με την τριγωνοποίηση που εφηύρε ο Delaunay το 1934. Πιο συγκεκριμένα, τα διαγράμματα Voronoi κι η τριγωνοποίηση Delaunay συνδυάζονται δυικά στην γενική περίπτωση. Το ενδιαφέρον είναι ότι πρακτικά τα διαγράμματα Voronoi δεν σχετίζονται με κύκλους αλλά με ευθύγραμμα τμήματα. Ενώ η τριγωνοποίηση του Delaunay ορίζεται αποκλειστικά μέσω κύκλων. Τα κέντρα των τριγώνων της τριγωνοποίησης, τα οποία δεν εμπεριέχουν κανένα αρχικό σημείο, αν τα ενώσουμε, θα βρούμε το διάγραμμα Voronoi. Γι’ αυτό το λόγο λέμε ότι λειτουργούν δυικά. Αυτό σημαίνει ότι στο πλαίσιο της εφαρμογής των διαγραμμάτων Voronoi, υπάρχει η δυνατότητα να εκμεταλλευτούμε και την τριγωνοποίηση του Delaunay, έτσι ώστε να χρησιμοποιήσουμε και τα τρίγωνα της, τα οποία μπορούν να εμπεριέχουν ή όχι τα διαγράμματα Voronoi.

Από τα διαγράμματα Voronoi στην τριγωνοποίηση του Delaunay υπάρχει ένα νοητικό σχήμα με πολλαπλές εφαρμογές και εκτός του χώρου των καθαρών μαθηματικών κι ειδικά στο χώρο της στρατηγικής μέσω της τοποστρατηγικής. Αυτό το νοητικό σχήμα λειτουργεί ως πολλαπλότητα για την γνωστικά προσέγγιση της νοητικής στρατηγικής.

From the Voronoi diagrams to the Delaunay triangulation
Translated from the Greek by Paola Vagioni

The Voronoi diagrams do not only solve problems in geography and topology. When Georgy Voronoi (1868-1908) invented them, who was a student of Andrey Markov (1856-1922) but also the teacher of Delaunay (1890-1980) and Sierpiński (1882-1969), he created an entire mathematical framework via computational geometry. The idea of the Voronoi diagrams is the creation of new points that differ from the initial facts and are not presented in a simple way to the solver. They create a new structure which is invisible to the non-expert who examines the initial elements. This notion is most important in mathematics and not only there. On the cognitive level, it releases the thought and makes it function non-conventionally for solving a seemingly static problem. The contibution of the Voronoi diagrams is the introduction of a dynamic framework, which facilitates not only the solution but also the invention of a new strategy. Moreover, the Voronoi diagrams are directly related to the triangulation which was invented by Delaunay in 1934. Specifically, the Voronoi diagrams and the Delaunay triangulation are dually combined on a general case. The interesting part is that in practice, the Voronoi diagrams are not related with circles but with line segments. While the Delaunay triangulation is defined exclusively via circles. The centres of the triangles of triangulation which do not include any initial point, if we combine them we will find a Voronoi diagram. For this reason we say that they operate in a dual manner. This means that in the framework of the application of the Voronoi diagrams, there is the possibility to exploit also the Delaunay triangulation in order to use its triangles too, which can include or not the Voronoi diagrams. From the Voronoi diagrams to the Delanay triangulation there is a mental schema with multiple applications also beyond the space of pure mathematics and especially in the space of strategy via topostrategy. This mental schema operates as a manifold for the cognitive approach of mental strategy.